De entre las múltiples propiedades notables que tiene la Sucesión
de Fibonacci algunas de las más curiosas pueden ser:
- La razón entre cada par de
términos consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón
áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más
a este valor.
- En el reino vegetal su aparición
más llamativa en la implantación espiral de las semillas en ciertas
variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales logarítmicas,
una en sentido horario y otra en sentido antihorario, formados por dos
términos consecutivos de la conocida serie.
- El cuadrado de cada
número F se diferencia en 1 del producto de los dos
números F situados a cada uno de sus lados. Conforme se avanza en la
sucesión, esta diferencia va siendo alternativamente positiva y negativa.
- La suma de los cuadrados de
dos números F consecutivos cualesquiera, Fn2+Fn+12 es F2n+1.
Puesto que el último de estos números es de subíndice forzosamente impar,
resulta de este teorema que al escribir en sucesión los cuadrados de los
números de Fibonacci, las sumas de los pares de cuadrados consecutivos
formarán la sucesión de números de Fibonacci con subíndice impar.
- Cualesquiera cuatro números
de Fibonacci consecutivos A, B, C, D verifican la siguiente identidad: C2 -
B2 = A x D.
- La sucesión de las últimas
cifras de los números de Fibonacci tiene período 60. Si se toman las dos
últimas cifras, la sucesión tiene período 300. Para la sucesión formada a
partir de las tres últimas cifras el período es ya 1.500; para cuatro, el
período tiene 15.000 cifras; para cinco el número asciende ya a 150.000, y
así sucesivamente.
- Para cada entero m hay
una colección infinita de números de Fibonacci exactamente divisibles
por m, de los cuales al menos uno se encuentra entre
los 2m primeros términos de la sucesión.
- El tercero de cada tres
números de la sucesión es divisible por 2; al contarlos de cuatro en
cuatro, el cuarto es divisible por 3. El quinto de cada cinco es múltiplo
de 5; el sexto de cada seis, es divisible por 8, y así sucesivamente,
siendo los divisores números F en sucesión.
- A excepción del 3, todo
número F que sea primo tiene subíndice primo. Dicho de otra forma, si el
subíndice es compuesto, también lo será el número F correspondiente (Por
ejemplo, 233 es primo y porta subíndice 13, también primo). Pero la
recíproca no es cierta. Hay números de Fibonacci con subíndices primos que
son números compuestos. El primer ejemplo es F19 que vale
4.181, siendo éste último múltiplo de 37 y 113.
- Con las excepciones
triviales de 0 y 1, tomando 0 como el elemento de subíndice 0 de la
sucesión, entre los números de Fibonacci hay solamente un cuadrado
perfecto, el elemento 12, que es 144, muy curioso, pues su valor es el
cuadrado del subíndice.
- En la sucesión de Fibonacci
hay solamente dos cubos: 1 y 8.
La lista de las propiedades de la sucesión de Fibonacci bastaría para
llenar un libro. Pero también existen una gran variedad de aplicaciones de la
misma en física y matemáticas.
Por Juan Sanchez Martos.
