Secretos de la Serie

De entre las múltiples propiedades notables que tiene la Sucesión de Fibonacci algunas de las más curiosas pueden ser:

• La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor.
• En el reino vegetal su aparición más llamativa en la implantación espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales logarítmicas, una en sentido horario y otra en sentido antihorario, formados por dos términos consecutivos de la conocida serie.
• El cuadrado de cada número F se diferencia en 1 del producto de los dos números F situados a cada uno de sus lados. Conforme se avanza en la sucesión, esta diferencia va siendo alternativamente positiva y negativa.
• La suma de los cuadrados de dos números F consecutivos cualesquiera, F_n²+F_n+1² es F_2n+1. Puesto que el último de estos números es de subíndice forzosamente impar, resulta de este teorema que al escribir en sucesión los cuadrados de los números de Fibonacci, las sumas de los pares de cuadrados consecutivos formarán la sucesión de números de Fibonacci con subíndice impar.
• Cualesquiera cuatro números de Fibonacci consecutivos A, B, C, D verifican la siguiente identidad: C² - B² = A x D.
• La sucesión de las últimas cifras de los números de Fibonacci tiene período 60. Si se toman las dos últimas cifras, la sucesión tiene período 300. Para la sucesión formada a partir de las tres últimas cifras el período es ya 1.500; para cuatro, el período tiene 15.000 cifras; para cinco el número asciende ya a 150.000, y así sucesivamente.
• Para cada entero m hay una colección infinita de números de Fibonacci exactamente divisibles por m, de los cuales al menos uno se encuentra entre los 2m primeros términos de la sucesión.
• El tercero de cada tres números de la sucesión es divisible por 2; al contarlos de cuatro en cuatro, el cuarto es divisible por 3. El quinto de cada cinco es múltiplo de 5; el sexto de cada seis, es divisible por 8, y así sucesivamente, siendo los divisores números F en sucesión.
• A excepción del 3, todo número F que sea primo tiene subíndice primo. Dicho de otra forma, si el subíndice es compuesto, también lo será el número F correspondiente (Por ejemplo, 233 es primo y porta subíndice 13, también primo). Pero la recíproca no es cierta. Hay números de Fibonacci con subíndices primos que son números compuestos. El primer ejemplo es F₁₉ que vale 4.181, siendo éste último múltiplo de 37 y 113.
• Con las excepciones triviales de 0 y 1, tomando 0 como el elemento de subíndice 0 de la sucesión, entre los números de Fibonacci hay solamente un cuadrado perfecto, el elemento 12, que es 144, muy curioso, pues su valor es el cuadrado del subíndice.
• En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8.

La lista de las propiedades de la sucesión de Fibonacci bastaría para llenar un libro. Pero también existen una gran variedad de aplicaciones de la misma en física y matemáticas.

Por Juan Sanchez Martos.